Paano natin malalaman na ang lahat ng mga electron ay magkapareho? Bahagi 2

Sa Bahagi 1, napunta ako sa kabalintunaan ng Gibbs, isang kabalintunaan sa huli na ika-19 na istatistika ng istatistika na ang iminungkahing resolusyon na ang mga partikulo ay dapat na magkapareho at hindi mailalarawan sa ilang antas. Ito ang unang palatandaan, at nakuha ang ilang mga tao na nag-iisip tungkol sa isyu - ngunit hindi talaga ito ang huling salita.

Sa Bahagi 2, kukumpletuhin ko ang aking paliwanag tungkol sa kung paano nalalaman ng mga pisiko na ang lahat ng mga elementong elementarya (tulad ng elektron) ay magkapareho sa pamamagitan ng pag-iwas sa mga mekaniko sa kabuuan, isang kamangha-manghang lugar ng pisika na natuklasan at binuo sa unang 3 dekada ng ika-20 siglo (1900-1930). Dapat itong ganap na posible na basahin ang Bahagi 2 nang hindi binabasa ang Bahagi 1; kahit na pareho silang may kinalaman sa kung bakit magkapareho ang mga particle, pareho ang sarili at hindi rin nakasalalay sa isa pa. Ang Bahagi 1 ay talaga ang paliwanag na maaaring maunawaan circa 1900, habang ang Bahagi 2 ay ang paliwanag na nauunawaan ng 1930 - matapos makumpleto ang mga mekanika ng kabuuan.

Sa mga mekanikal na istatistika ng klasikal, maaari mong kumatawan ang iba't ibang mga posibilidad para sa estado ng isang sistema sa pamamagitan ng mga posibilidad. Halimbawa, kung alam mo ang temperatura at presyon ng isang gas, mayroong isang pamamahagi ng istatistika (tinatawag na "probability density function") ng iba't ibang mga partikulo na bumubuo sa gas. Ang mga particle na ito ay nagba-bounce nang random. Sa isang mataas na temperatura, mas malamang na makahanap ka ng isang indibidwal na molekula ng gas na mabilis na gumagalaw; sa isang mababang temperatura, mas malamang na makahanap ka ng isang indibidwal na molekula ng gas na mabagal. Ngunit alinman sa paraan mayroong isang buong hanay ng mga posibilidad.

Sa mga mekaniko ng kabuuan, pareho ang totoo ngunit nakakakuha ito ng kaunti mas kumplikado. Ang pag-andar ng posibilidad ng density sa mga mekanika ng quantum ay ibinibigay ng parisukat ng magnitude ng isang kumplikadong function na tinatawag na "function ng alon". Sa pamamagitan ng kumplikadong ibig sabihin ko sa halip na isang function ng mga tunay na numero (x = 1, 2, 3.4, 9.8, atbp.), Ito ay isang function ng mga kumplikadong numero, ang bawat isa ay mayroong isang tunay at isang haka-haka na bahagi (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i, atbp. Kung hindi mo pa ito nakatagpo kanina, sigurado akong talagang kakaiba ito. Ngunit hindi ko masabi ang higit pa kaysa sa: ito ay kung paano gumagana ang mga mekanika ng dami - ito ay medyo kakatwa!

Kaya halimbawa, kung ang pag-andar ng alon para sa isang elektron ay 1 / √2 sa posisyon x at 1 / √2 sa posisyon y, kung gayon kapag ikaw ay parisukat sa mga ito makakakuha ka ng mga posibilidad: ang mga pagkakataong natagpuan sa posisyon x ay 1/2 at ang mga pagkakataong ito ay matatagpuan sa y ay 1/2 din. Kaya mayroon kang isang 50/50 shot kung hahanapin mo ito sa alinman sa lokasyon.

Sa ngayon ito ay magkapareho pa rin sa mga klasikal na statistic na mekanika. Kung nais mo, maaari mo ring kumatawan sa pag-andar ng posibilidad ng density sa klasikal na pisika sa pamamagitan ng parisukat na ugat ng sarili nito kahit saan, at walang magbabago. Ang pagkakaiba ay, sa mga mekanika ng kabuuan ang alon ay gumaganap ng hindi gaanong tulad ng isang mental na abstraction at higit pa tulad ng isang aktwal na pisikal na alon, na maaari itong magpakita ng pagkagambala.

Madilim at magaan ang mga fringes

Sa klasikal, ang mga alon ng posibilidad ay hindi makagambala sa bawat isa. Ang posibilidad ay palaging isang positibong numero, kaya kung ang dalawang magkakaibang mga partikulo ng isang gas bawat isa ay may posibilidad na p para sa natagpuan sa lokasyon x, kung gayon ang posibilidad na makahanap ng alinman sa mga ito mayroong 2p lamang. Sa klasikal, ang posibilidad para sa iba't ibang mga kaganapan na nangyayari (o iba't ibang mga naganap na pagsukat na nagaganap) ay palaging nagdaragdag sa bawat isa, hindi ito nababawas.

Ngunit sa mga mekaniko ng dami, ito ang mismong alon ng alon (sa halip na parisukat nito) na kumikilos bilang isang alon. At dahil ang pag-andar ng alon sa bawat punto ay maaaring maging anumang kumplikadong numero (kabilang ang positibo o negatibong tunay na mga numero), kung minsan kapag pinagsama mo ang iba't ibang mga posibilidad na madaragdag ang mga probabilidad ngunit sa ibang mga oras na kanilang ibabawas! Kapag ang pagbabawas ay nangyayari - halimbawa kung ang posibilidad para sa dalawang magkakaibang mga kaganapan ay ganap na nag-aalis ng paggawa ng imposible para sa alinman na mangyari - na tinatawag na pagkagambala sa kabuuan.

Ipagpalagay natin na mayroon kaming 2 elektron at mayroon lamang 2 lokasyon kung saan matagpuan ang bawat elektron, lokasyon x o lokasyon y. Kung ang dalawang elektron ay nakikilala, kung gayon maaari nating lagyan ng label ang mga ito na "electron A" at "electron B" at nangangahulugan ito na mayroong 4 na posibleng estado na ang 2-electron system ay maaaring nasa. Alinman sa pareho ang A at B ay nasa x, pareho ang sa y, A ay nasa x at B ay nasa y, o B ay nasa x at A ay sa y. Upang buod, mayroon kaming AB = xx, yy, xy, o yx. Ang isang karaniwang notasyon para sa kumakatawan sa mga estado na tulad nito sa mga mekanika ng quantum ay ang paggamit ng anggulo ng mga bracket: | xx>, | yy>, | xy>, at | yx>.

Ngunit ang pang-agham na pananaliksik sa 1920 ay nagpakita ng isang nakakagulat na katotohanan: isang sistema ng 2 elektron na tulad nito ay hindi maaaring nasa 4 na magkakaibang estado, mayroon lamang 1 posibleng estado na maaari itong mapasok!

Bahagi ng kadahilanan na dapat mong hulaan: kung walang paraan upang makilala ang elektron A mula sa elektron B, pagkatapos ay nagsasaad | xy> at | yx> ay magkapareho. Ang mga ito ay lamang ng dalawang magkakaibang paraan ng kumakatawan sa parehong pisikal na estado. Alinmang paraan, mayroong 1 elektron sa posisyon x at 1 sa posisyon y.

Ngunit naiwan pa rin tayo ng 3 estado, hindi 1 - ano ang mali sa pagkakaroon ng isang estado tulad ng | xx> kung saan ang parehong mga elektron ay nasa posisyon x, o | yy> kung saan pareho ang nasa posisyon y? Ito ay lumiliko, higit sa 1 elektron ay hindi kailanman maaaring sakupin ang parehong estado. Noong 1925, iminungkahi ni Wolfgang Pauli ang prinsipyong ito - na kilala na ngayon bilang prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli - at noong 1940 ay napatunayan niya ang paggamit ng teorya na larangan ng larangan na nalalapat hindi lamang sa mga electron kundi sa lahat ng mga partikulo ng isang tiyak na uri (mga may kalahating integer paikot - ang mga elektron ay may paikutin 1/2).

Wolfgang Pauli

Ito ay magdadala sa akin masyadong malayo sa paksa upang magbigay ng isang buong paliwanag tungkol sa kung ano ang umiikot sa post na ito (kung nais mong malaman ang higit pa, hinihikayat ka na basahin ang aking paliwanag ng pag-ikot-1/2 dito sa Quora, na kanilang sinabi lamang ako ay na-email sa higit sa 100,000 mga tao kahapon). Ngunit lumiliko ito, ang lahat ng mga particle ng quantum ay nahuhulog sa 1 ng 2 kategorya: fermions o bosons. Ang mga Fermions ay may kalahating integer na pag-ikot at sumunod sa prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli, habang ang mga boson ay may pag-ikot ng integer at hindi.

Ang mga Fermions ay may posibilidad na magkaroon ng maraming "bagay-tulad ng" mga katangian. Halimbawa, ang mga electron, proton, at neutron ay lahat ng pag-ikot-1/2 fermion. Ang mga ito ay kung ano ang bumubuo ng mga bloke ng gusali (mga atomo, molekula, atbp.) Maaaring narinig mo sa isang lugar o sa iba pang bagay na hindi maaaring sakupin ang parehong puwang nang sabay. Ito ay dahil sa bahagi sa Pauli prinsipyo ng pagbubukod (pati na rin ang electrostatic repulsion sa pagitan ng iba't ibang mga atom).

Ang mga Bosons ay may posibilidad na magkaroon ng higit pang mga katangian ng "radiation-like". Halimbawa, ang mga photon - ang mga particle na may pananagutan sa ilaw at iba pang electromagnetic radiation (mga radio radio, microwaves, wifi, UV, x-ray, gamma ray, atbp.) - ay mga spin-1 bosons. Ang Higgs boson na natuklasan sa LHC noong 2012 ay isang spin-0 boson. At karamihan sa mga teoretikal na pisiko ay naniniwala na ang gravity ay pinagsama ng isang spin-2 boson na tinatawag na graviton, bagaman hindi pa ito napansin sa isang laboratoryo.

Ang prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli ay hindi lamang isang panuntunan ng axiomatic, ito ay isang konklusyon na maaaring makuha mula sa aming pinakamahusay na pangunahing mga teorya ng pisika. Sa katunayan, hinihiling nito ang parehong teorya ni Einstein ng espesyal na kapamanggaya na sinamahan ng mga mekanika ng kabuuan upang ganap na makuha ang prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli bilang isang konklusyon. Dahil sa paraan kung saan gumagana ang pag-ikot, ang alon ng pag-andar ng 2 bosons ay palaging pinipilit na "simetriko" samantalang ang alon ng pagpapaandar ng 2 fermions ay palaging pinipilit na "antisymmetric".

Sa kontekstong ito, ang simetriko ay nangangahulugan lamang na kung ibabago mo ang mga lokasyon ng dalawang mga bosons pagkatapos walang mangyayari - babalik ka nang eksakto sa parehong estado. Ang Antisymmetric ay nangangahulugang isang bagay na katulad ngunit hindi lubos na: kung ipinagpapalit mo ang mga lokasyon ng dalawang magkaparehong mga fermion pagkatapos ay makakabalik ka sa parehong estado ngunit may isang minus sign sa harap nito.

Ang mekaniko ng dami ay ginagawa sa isang uri ng puwang ng vector na tinatawag na "Hilbert space" kung saan mayroon kang 2 estado, mayroong isa pang estado na maaaring mabuo mula sa kanila sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito nang sama-sama sa isang "linear kumbinasyon". Halimbawa, kung | xy> at | yx> ay parehong estado sa puwang ng Hilbert, kung gayon | xy> + | yx> ay isang estado din sa parehong puwang ng Hilbert. At gayon din ang | xy> - | yx> o anumang iba pang mga guhit na kombinasyon tulad ng 3 | xy> -2 | yx>. Ang ganitong paraan ng pagsasama-sama ng mga estado sa kabuuan ng mga mekanika ay tinatawag na "superposition". Sa halip na tiyak na nasa isang lokasyon o siguradong nasa isa pa, ang elektron ay may posibilidad na maging sa isa at may posibilidad na maging sa isa pa.

Gayunpaman, dahil ang mga estado na ito ay kumakatawan sa isang dami ng alon, at binanggit ko kanina na ang parisukat ng magnitude ng isang dami ng alon ay nagbibigay ng isang posibilidad na pamamahagi, ang mga estado ay dapat na gawing normal sa isang paraan na ang kabuuang posibilidad ng elektron na natagpuan saanman madagdagan hanggang 100% (o 1). Samakatuwid, ang mga coefficient sa mga linear na kumbinasyon sa itaas ay kailangang hatiin ng isang pangkalahatang kadahilanan upang gawing normal ang mga ito.

Ang pagsasama-sama nito sa kahilingan na ang fermionic wavefunctions ay dapat palaging maging antisymmetric, nangangahulugan ito na ang tanging estado na ito ng 2 electron ay maaaring mapasok (sa pag-aakalang mayroon lamang 2 posibleng lokasyon para sa kanila) ay 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (O ang parehong bagay na pinarami ng anumang kumplikadong bilang ng magnitude 1, na katumbas ng pangangatawan.) Kung ipinagpapalit natin ang x at y sa ito, nakakakuha tayo ng 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> na eksaktong eksaktong -1 beses ang orihinal na estado. Sa matematika ito ay isang iba't ibang estado sa espasyo ng Hilbert, ngunit pisikal na nangangahulugang ito ay ang parehong bagay. Kung parisukat mo ang mga coefficient ng 1 / √2 pagkatapos ay sinasabi sa iyo na mayroong isang 1/2 na pagkakataon na ang elektron A ay nasa x at ang electron B ay nasa y, at isang 1/2 na pagkakataon na ang electron B ay nasa x at elektron A nasa y. 50/50

Ang ginawa namin ay kumuha ng dalawang estado na pisikal na hindi maiintindihan - | xy> at | yx>, at nabuo ang isang superposition ng mga ito na mayroong ganitong antisymmetric na pag-aari na hinihiling ng mga fermion. Ngunit ano ang tungkol sa mga estado | xx> at | yy>? Ang mga ito ay hindi kailanman maaaring gawin antisymmetric, dahil ang pakikipagpalitan ng x sa x, o y sa y ay hindi nagbabago ng anuman. Dahil ang mga ito ay hindi sinasadya na simetriko na estado, hindi lamang sila maaaring umiiral para sa mga fermion - nalalapat lamang ito sa mga bosons.

Tulad ng maaaring nahulaan mo, nangangahulugan ito na para sa mga bosons mayroong 3 posibleng estado na maaari silang umiiral sa halip na 1. Para sa 2 mga photon na maaaring nasa lokasyon x o lokasyon y, ang 3 magkakaibang estado na maaari nilang mapunta ay | xx> , | yy>, o 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - lahat ng ito ay perpektong simetriko kung magpapalitan ka ng x at y. (Walang minus sign.)

Upang buod, ang isang pares ng nakikilala na mga particle na maaaring maging sa 2 magkakaibang lokasyon ay may 4 na posibleng kalagayan na maaari nilang mapasok. Samantalang ang isang pares ng mga fermion ay may 1 posibleng estado lamang, at ang isang pares ng mga boson ay may 3 posibleng estado. Ito ay humahantong sa ibang iba't ibang pag-uugali sa istatistika para sa mga fermion at bosons, at ipinapaliwanag kung bakit napakarami ang mga katangian ng 2 uri ng mga particle.

Sa isang mas maagang post ng minahan, sinabi ko ang kwento kung paano ang pag-aaral ni Max Planck ng entropy sa huling bahagi ng 1800's ay humantong sa paunang pagkatuklas ng mga mekanika sa kabuuan. Sa parehong kaparehong oras na iyon, mayroon nang isang malaking palatandaan na matagal nang naganap - isang kilalang palaisipan tungkol sa termino ng thermodynamics na Maxwell at Boltzmann (na kalaunan ay naging kilala bilang statistic mechanics). Gamit ang Batas ng Equipartition, hinulaan ng klasiko thermodynamics ang maling kapasidad ng init para sa maraming mga gas sa mababang temperatura.

Ang "kapasidad ng init" ay ang dami ng init na maaaring sumipsip ng isang bagay hanggang sa ang temperatura nito ay naitaas ng isang nakapirming halaga (karaniwang, 1 degree Celsius). Ang ilang mga gas ay maaaring sumipsip ng maraming init (thermal energy) nang hindi pinalaki ang kanilang temperatura. Habang ang iba, ang pagkakalantad sa kaunting init lamang ay magpapadala ng pagtaas ng thermometer. Ang teorya sa likod nito, ayon kay Maxwell at Boltzmann, ay na ang ilang mga salamin ay mas mahusay sa pagsipsip at pag-iimbak ng enerhiya ng thermal kaysa sa iba dahil mayroon silang isang mas malaking bilang ng mga panloob na antas ng kalayaan - ang mga "degree ng kalayaan" ay nagsisilbing epektibo bilang mga lalagyan sa loob nito ang enerhiya ay maaaring maiimbak. Ang Equipartition Theorem (iminungkahi ni Maxwell at pagkatapos ay pinatunayan na mas pangkalahatan sa pamamagitan ng Boltzmann) ay nagsasaad na sa balanse, bawat gas (o likido, o solid) ay magkakaroon ng kabuuang panloob na enerhiya ng 1/2 NkT. Kung saan ang N ay ang bilang ng mga antas ng kalayaan sa gas na iyon, ang T ang temperatura ng gas na iyon, at ang k ay isa lamang ang Boltzmann. Sa madaling salita, ang gas ay magkakaroon ng 1/2 kT ng thermal energy bawat antas ng kalayaan.

Halimbawa, kung mayroon kaming gas ng monatomic Hydrogen (ang monatomic ay nangangahulugang ang bawat molekula ay isang solong atom), ang bawat atom ay mayroong 3 degree ng kalayaan sapagkat maaari itong ilipat sa isa sa 3 direksyon: pataas o pababa, kaliwa o kanan, at paatras at pasulong (3 mga direksyon mula nang nakatira kami sa isang 3-dimensional space). Ang enerhiya ng thermal ay maaaring makuha ng isang atom na Hydrogen sa pamamagitan ng pagtaas ng kinetic energy sa alinman sa mga 3 malayang direksyong iyon.

Credit ng Larawan: astarmathsandphysics.com

Sa kabilang banda, kung mayroon tayong gas ng diatomic na mga molekula ng hydrogen (diatomic ay nangangahulugang ang bawat molekula ay binubuo ng 2 mga atomo na konektado ng isang bono ng kemikal) pagkatapos ay mayroong higit na antas ng kalayaan (posibleng mga paraan kung saan maaaring lumipat ang bawat molekula ng gas) . Bilang karagdagan sa kalayaan na ilipat nang magkakasunod sa alinman sa 3 mga sukat, mayroon din itong kalayaan na iikot kasama ang alinman sa 2 magkakaibang mga axes.

Bagaman ang 75% ng bagay sa sansinukob sa pamamagitan ng masa ay monatomic Hydrogen, ang karamihan ng Hydrogen sa Earth ay diatomic Hydrogen. Iyon ay dahil ang Hydrogen ay monatomic lamang sa sobrang mataas na temperatura at presyur na umiiral sa loob ng mga bituin (tulad ng araw). Sa ilalim ng saklaw ng mga temperatura na natagpuan malapit sa ibabaw ng Earth, ang Hydrogen ay natural na nagpapareserba sa diatomic phase nito. Ngunit ang tila kakaiba sa 1800's ay depende sa eksaktong temperatura, ang diatomic Hydrogen ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga kapasidad ng init.

Credit ng Larawan: Hyperphysics

Sa temperatura ng silid, ang Hydrogen ay may kapasidad ng init sa bawat molekula na malapit sa 5/2 k (o kung ito ay bawat nunal sa halip na bawat molekula, ito ay isinulat bilang 5/2 R tulad ng sa diagram). Ayon sa pananaw nina Maxwell at Boltzmann tungkol sa thermodynamics, nagpapahiwatig ito ng 5 degree ng kalayaan (talagang 7, kung isasama mo ang 2 higit pang mga degree ng kalayaan para sa mga panginginig ng boses). Ngunit ang eksaktong halaga sa temperatura ng silid ay tungkol sa 2.47k. At habang ang gas ay pinalamig sa ibaba 0 Celsius (273K), unti-unting bumaba mula sa 2.47k sa lahat ng paraan upang kalaunan ay tumira sa 1.5k. Ngunit ang 3/2 k ay magpahiwatig na mayroon lamang itong 3 degree ng kalayaan - sa madaling salita, na ito ay isang monatomic gas! Bakit ang colder Hydrogen ay magiging isang monatomic gas sa mababang temperatura? At ano ang ibig sabihin ng magkaroon ng isang halaga sa pagitan ng 3 at 5 degree ng kalayaan? Ang kapasidad ng init ay dapat na independiyenteng ng temperatura. Mayroong katulad na kilalang mga problema sa sinusukat na mga kapasidad ng init ng Oxygen at Nitrogen gas.

Maraming mga iminungkahing paliwanag para sa palaisipan na ito noong 1800's, ngunit walang nakakaintindi sa buong sagot hanggang sa pagbuo ng mga mekanika ng quantum. Ang buong sagot ay ang mga paraan kung saan ang mga rotational degrees ng kalayaan ay maaaring nasasabik sa mga molekula ay nasusukat. Klasikal, ang isang bagay ay maaaring paikutin sa anumang bilis kahit gaano pa kabagal - kaya ang anumang halaga ng enerhiya, kahit gaano man kaliit, ay maaaring magsimula ng isang bagay na umiikot. Ngunit sa mga mekaniko ng kabuuan, angular momentum ay sinusukat upang ang mga pag-ikot ay maaaring mangyari lamang sa ilang mga pagdaragdag ng discrete. Alinman ang isang molekula ay nagsisimula sa pag-ikot nang mabilis, o hindi man - wala sa pagitan. Dahil dito, sa mababang temperatura ang average na dami ng enerhiya na nagpapalitan sa pagitan ng mga random na banggaan ng mga molekula ay napakaliit lamang upang mapukaw ang mga antas ng kalayaan. Sa mababang temperatura, ang hydrogen gas ay diatomic pa rin ngunit ang 3 na translateal na antas ng kalayaan ay lamang ang maaaring maging nasasabik - mayroon lamang hindi sapat na enerhiya upang simulan ang mga molekula na umiikot. Kapag ang temperatura ay tumataas sa itaas ng isang tiyak na threshold, ang mga tipikal na enerhiya na kasangkot sa banggaan ay naging sapat upang mapukaw ang mga pag-ikot. Ang mas mataas na temperatura, mas malaki ang posibilidad para sa mga energies na sapat na mataas upang maging sanhi ng mga pag-ikot; samakatuwid ang kapasidad ng init ay unti-unting bumangon hanggang sa antas ng kung ano ang aasahan ng isang tao para sa isang bagay na binubuo ng mga molekula na may 5 degree ng kalayaan. Kung patuloy mong itataas ang temperatura, sa huli ay makakakuha ito ng mainit na pagpukaw sa mga panginginig ng boses (isipin ang bono sa pagitan ng mga atomo ay tulad ng isang tagsibol, pag-uunat at pag-compress nang halili), na kung saan ito ay naging din. Sa sobrang init na temperatura, ang diatomic gasses ay may 7 naa-access na antas ng kalayaan, na kung ano ang nais mong isipin ay totoo sa anumang temperatura na klasikal. Ang mga mekanika ng dami ay nagbibigay ng isang katulad na paliwanag para sa mga kapasidad ng init ng Oxygen at Nitrogen.

Iminungkahi ni Einstein noong 1906 na ang dami ng malutas ay maaaring malutas ang maliwanag na salungatan sa pagitan ng Batas ng Equipartition ng Batas at Boltzmann at ang sinusukat na mga curves para sa tiyak na mga pag-init ng mga diatomic gasses. At ang kanyang hypothesis ay nakumpirma noong 1910 ni Nernst nang sukatin niya ang tiyak na mga heats ng iba't ibang mga gases sa mas mataas na katumpakan at natagpuan na sila ay sumang-ayon sa mga hula ng Einstein. Ito ay isa sa pinakaunang mga eksperimentong pagsubok ng mga maagang mekaniko ng kabuuan, at pumasa ito!

Ngunit ang pagbabalik sa magkaparehong mga partikulo, mayroong isa pang paraan kung saan ang isang dami ng teorya ng mekanikal ng mga gasses ay naiiba nang malaki mula sa lumang klasikal na teorya ng mga gasses noong 1800's.

Kung ang mga indibidwal na mga partikulo ng isang gas ay nakikilala, pagkatapos kapag pinalamig mo ang gas hanggang sa ganap na zero, lahat sila ay bababa sa estado ng lupa - alinman sa kanilang estado ang may pinakamababang enerhiya. Karaniwan, sa tingin mo ang estado ng lupa ay isa kung saan ang bawat butil ay ganap na nagpapahinga at walang kinetic enerhiya, rotational energy, o anumang iba pang uri ng paggalaw o panloob na enerhiya.

Ngunit para sa isang gas ng fermions, ang kanilang kawalang-pagkakaalam ay humahantong sa prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli na nagbabawal ng higit sa isang magkaparehong butil mula sa pagpunta sa parehong estado. Samakatuwid, hindi sila lahat ay nasa estado ng lupa. Kadalasan ang antas ng enerhiya na maaaring sakupin ng isang maliit na butil ay kinakatawan ng isang diagram ng hagdan, kung saan ang bawat antas ng enerhiya ay isa pang rung sa hagdan. Karaniwan mayroon ding "pagkabulok", kung saan ang maramihang mga estado ay may eksaktong magkaparehong enerhiya - kung saan maaari silang mailarawan ng parehong rung sa hagdan hangga't sinusubaybayan natin ang katotohanan na mayroong pagkabulok (maraming estado) sa na rung.

Ano ang mangyayari kapag ang isang gas ng fermions (na kilala rin bilang isang gas ng Fermi) ay pinalamig hanggang sa ganap na zero ay ang bawat estado ng isang naibigay na enerhiya ay napupuno, nagsisimula sa estado ng lupa at lumipat sa hagdan hanggang sa lahat ng mga partikulo sa ang gas ay accounted para at may isang rung. Muli, dahil sa pagkabulok, maraming mga particle ay maaaring maging sa parehong kalat. Ngunit hangga't ang pagkabulok ay maliit kumpara sa kabuuang bilang ng mga particle, nangangahulugan pa ito na maraming mga rungs ang mapupuno. Kapag pinupunan mo ang lahat ng mga rungs na may mga particle, ang pinakamataas na antas ng enerhiya na napupuno ay tinatawag na "Fermi energy".

Noong 1910, sa parehong taon ay nakumpirma ni Nernst ang teorya ng dami ng mga capacities ng init para sa mga diatomic na gasses, isang bagong uri ng bituin ay natuklasan ng mga astronomo. Sa pagsapit ng 1922 makakakuha ito ng pangalang "puting dwarf", ngunit noong 1910 napansin ng mga astronomo na ito ay naiiba sa ordinaryong mga bituin at may ilang kakatwang kakaibang katangian. Ang nakakagulat na bagay tungkol sa uri ng bituin na ito ay tila masyadong siksik para sa klasikal na pisika na maipaliwanag kung paano ito nagawang lumiwanag.

Si Sirius B (ang maliit na tuldok) ay ang pinakamalapit na puting dwarf star

Ang masa ng isang puting dwarf ay katulad sa misa ng Araw, at gayunman ang lahat ng masa na iyon ay nakaimpake sa isang maliit na bola na karaniwang tungkol sa parehong sukat ng Earth. Ang pagsasaalang-alang sa Araw ay halos 333,000 beses nang napakalaking bilang ng Earth, nangangahulugan ito na isang napaka siksik na uri ng bagay. Sa oras na ito, mas malabo kaysa sa anumang nakita o narinig ng mga pisiko, kahit na ang mga bituin ay dapat na nasusunog na mga gas ng mga ions (na kilala rin bilang plasmas), hindi solidong bagay. Kung ito ay isang uri ng labis na siksik na solid, kung gayon bakit ito ay kumikinang sa lahat?

Ito ay talagang ito ay isang plasma, hindi isang solid. Ngunit ito ay talagang siksik. Walang klasikal na teorya ng mga gas ang maaaring magpaliwanag kung paano ang isang gas ay maaaring maging siksik na ito at hindi lamang bumagsak sa sarili dahil sa sarili nitong gravity. Noong 1926, wastong ipinaliwanag ni RH Fowler, gamit ang matematika ng mga mekanika ng kabuuan, na ang mga puting dwarf ay talagang mga goma ng Fermi kaysa sa klasikal na mga gas.

Sa madaling salita, ang isang puting dwarf ay isang gas ng magkatulad na mga fermion. Partikular, ito ay isang gas ng mga electron. Sa mataas na temperatura at mababang presyur, ang isang gas ng mga electron ay kumikilos nang hindi naiiba kaysa sa isang ordinaryong klasikal na gas. Hindi mahalaga na ang mga indibidwal na elektron ay magkapareho dahil maraming mas maraming estado na magagamit kaysa mayroong mga electron. Mayroon silang isang malaking dami upang ilipat sa paligid, at maraming iba't ibang mga uri ng mga paraan kung saan maaari silang lumipat dahil ang temperatura ay sapat na mataas. Ngunit palamigin ang parehong gas na sapat na sapat, o itaas ang presyon upang mapasok ito sa isang maliit na sapat na dami, at pagkatapos simulan ang mga electron na masimulan sa parehong estado. Maliban na hindi sila maaaring pumunta sa eksaktong parehong estado dahil sa prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli. Kaya pinupuno lamang nila ang mga estado nang halos hanggang sa enerhiya ng Fermi at huminto.

Kung sila ay nakikilala mga partikulo, kung gayon kakailanganin nilang lahat sa parehong estado at ang enerhiya ay talagang magiging zero - walang kilusan sa estado ng lupa. Ngunit dahil sila ay mga fermion, mayroong isang "degeneracy pressure" na pinipigilan ang mga ito mula sa pagpunta sa parehong estado at maiiwasan ang buong bagay na gumuho dahil sa grabidad. Ang mga istatistika ng kung paano kumikilos ang mga fermion sa sitwasyong ito ay kilala bilang "Mga istatistika ng Fermi-Dirac", na nagiging katulad lamang sa klasikal na "Stadistikang" Maxwell-Boltzmann "sa limitasyon ng mataas na temperatura at mababang presyon. Ang mga istatistika sa kontekstong ito ay tumutukoy sa kung ano ang posibilidad na ang bawat butil ay magkakaroon ng isang naibigay na enerhiya sa balanse, bilang isang pag-andar ng temperatura. O isa pang paraan ng pagsasabi nito: ano ang inaasahang bilang ng mga particle na matatagpuan sa bawat antas ng enerhiya para sa isang sistema matapos itong maabot ang balanse?

Maaari mong makuha ang mga istatistika ng Maxwell-Boltzmann sa pamamagitan ng pagbibilang kung gaano karaming mga iba't ibang mga natatanging estado ang mga partikulo ay maaaring sakupin gamit ang combinatorics, at pagkatapos malaman kung saan ang pamamahagi ng mga estado naabot ng isang maximum (din kumakatawan sa maximum na entropy, aka equilibrium). Para sa mas mababang enerhiya, ang pagkabulok ay karaniwang mas mababa kaya hindi gaanong maraming estado. Ngunit kung ang enerhiya ng isang indibidwal na butil ay masyadong mataas, kung gayon binabawasan nito ang dami ng enerhiya na naiwan upang maipamahagi sa gitna ng iba pang mga partikulo na nagreresulta sa mas kaunting mga posibleng kumbinasyon. Kaya mayroong isang balanse, isang kondisyon ng balanse, kung saan ang buong sistema ay nasa maximum na entropy kapag ang mga estado ng isang naibigay na enerhiya ay napuno ng isang inaasahang bilang ng mga partikulo N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). Ang K_i ay ang pagkabulok; kinakatawan nito kung gaano karaming mga estado ang nasa isang naibigay na antas ng enerhiya E_i. Ang kadahilanan ng e ^ (- E_i / kT) (kung saan ang k ay ang Boltzmann pare-pareho at ang T ang temperatura) ay kilala bilang isang "factor ng Boltzmann". Ang kadahilanan ng Boltzmann ay nangangahulugan habang inililipat namin ang hagdan ng mga antas ng enerhiya, ang bilang ng mga particle na sumasakop sa bawat rung ay nakakakuha ng mas kaunting at mas kaunti (kahit na mayroong higit at maraming espasyo para sa kanila dahil sa pagkabulok). Ngunit kinontrol ng temperatura kung gaano kabilis ang pagbagsak ng exponential na ito. Ang Simbolo na Greek µ sa e ^ (E_i-µ) / (kT) ay tinawag na "potensyal na kemikal" at hindi mahalaga sa ngayon, ngunit kinakatawan nito kung magkano ang kabuuang enerhiya ng isang sistema kung ang isang karagdagang maliit na butil ay idinagdag dito . (Para sa maraming mga sistema, µ ay 0 o humigit-kumulang 0 kaya madalas na hindi ito kasama).

Hangga't ang gas ay medyo sapat na hindi namin kailangang mag-alala tungkol sa dalawang magkakaibang mga partikulo na sumasakop sa parehong estado (ang inaasahang N_i sa lahat ng estado ay mas mababa sa 1), kung gayon ang parehong derivation ay gumagana lamang ng multa para sa mga fermion o para sa mga boson - hindi mahalaga, pareho ang humahantong sa parehong mga istatistika ng Maxwell-Boltzmann. Gayunpaman, kung isasaalang-alang mo ang kaso kung saan ang gas ay napaka siksik o sa isang sapat na temperatura, pagkatapos ay bigla itong mahalaga kung ang mga partikulo ay mga fermion o bosons (o alinman, na hindi talaga nangyayari sa kalikasan ngunit maaaring maiisip) . Para sa mga fermion, ang inaasahang bilang ng mga particle na sumasakop sa bawat antas ng enerhiya sa sandaling binibilang mo ang mga estado at natagpuan ang kanilang maximum ay N_i = 1 / (e ^ (E_i-µ) / (kT)) + 1) - ito ang kilala bilang Mga istatistika ng Fermi-Dirac. Para sa mataas na mga kondisyon ng density sa mga puting dwarf na bituin, o mga kondisyon ng mababang temperatura sa iba pang mga goma ng Fermi, ang potensyal na kemikal µ ay nagiging mahalaga at humigit-kumulang na katulad ng enerhiya ng Fermi na tinalakay nang mas maaga (at para sa zero temperatura ay eksaktong pareho). Tandaan na ang tanging pagkakaiba sa pagitan ng mga istatistika ng Maxwell-Boltzmann at Fermi-Dirac na istatistika ay ang "+1" sa pormula ng Fermi-Dirac. Ang ganitong isang bahagyang pagkakaiba, at gayunpaman mayroon itong napakalaking epekto sa paraan na kumikilos ang bagay!

Kumusta naman ang mga bosons? Hindi nila sinusunod ang prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli, kaya hindi ba lalabas ang isang gas ng mga bosons na hindi naiiba sa isang ordinaryong klasikal na gas? Nope, ang mga boson ay may sariling hanay ng mga istatistika na sinusunod nila na kilala bilang "Mga istatistika ng Bose-Einstein", na naiiba sa parehong mga istatistika ng Maxwell-Boltzmann at Fermi-Dirac.

Kahit na hindi nila sinusunod ang prinsipyo ng pagbubukod sa Pauli, ang magkatulad na mga dibdib ay naiiba pa rin sa mga nakikilala na mga particle dahil ang combinatorics ay naiiba pa rin. Alalahanin ulit kapag pinag-uusapan natin ang mga estado ng kabuuan sa isang puwang sa Hilbert? Para sa isang pares ng magkaparehong bosons bawat isa na may mga magagamit na estado lamang, nakita namin na ang pares ay mayroon lamang 3 posibleng mga estado na maaari silang maging sa halip na 4 na inaasahan mo kung sila ay makilala. Ang pangkalahatang ito ay para sa isang hanay ng mga magkatulad na dibdib ng N na may mga magagamit na estado, mayroong "N pumili ng K-1" = (N + K-1)! / N! / (K-1)! iba't ibang mga natatanging estado na maaari nilang maging, sa halip na K ^ N para sa mga nakikilala na mga partikulo. (Kung saan siyempre, ang! Mga marka ay mga simbolo ng matematika na haka haka sa bahagi 1.) Madali mong suriin na ito ay gumagana para sa aking orihinal na halimbawa kung saan N = K = 2: (2 + 2-1)) / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Pinapayagan ang bawat antas ng enerhiya na magkaroon ng iba't ibang bilang ng mga nakabulok na estado K_i, ang pormula ay dapat mapalawak sa isang produkto ng maraming mga kadahilanan sa bawat isa sa form (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (kaparehong bagay tulad ng nasa itaas, sa mga subscription lamang sa akin upang makilala ang iba't ibang mga antas ng enerhiya E_i). Matapos gamitin ang calculus upang mahanap ang maximum ng expression na ito, ang nagresultang estado ng balanse ay maaaring matukoy bilang isa kung saan mayroong N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) mga partikulo sa bawat antas ng enerhiya E_i. Ito ang pormula para sa mga istatistika ng Bose-Einstein. Pansinin, ang pagkakaiba lamang sa pagitan ng ito at ang pormula ng Fermi-Dirac ay ang +1 na ngayon ay isang -1! Ginagawa nitong madali ang lahat ng mga ito upang maalala. Bagaman kadalasan para sa mga bosons, ang µ ay 0 dahil madali silang malilikha o masira - halimbawa, ang numero ng photon ay hindi mapangalagaan sa ating uniberso, kaya maaari silang lumitaw at mawala nang walang gastos kapag kinakailangan.

Ang pormula para sa mga istatistika ng Einstein-Bose ay natuklasan ng isang pisika sa India na nagngangalang Satyendra Nath Bose, isang taon o dalawa bago natuklasan at inilapat ang mga istatistika ng Fermi-Dirac at mga inilalapat sa mga puting dwarf. Ang kwento kung paano siya nakarating dito ay kamangha-manghang. Nagbibigay siya ng isang lektura noong 1924 sa British India (sa loob ng tinatawag na Bangladesh) sa "ultraviolet catastrophe". Ang sakuna ng ultraviolet ay ang pangalan na ibinigay noong unang bahagi ng ika-20 siglo sa problema na walang alam kung paano ganap na makuha ang pormula ng Planck para sa radiation ng mga tao mula sa istatistika na mga mekaniko, na tinalakay ko nang haba sa kung ano ang napakarami ng aking pinakatanyag na piraso sa Medium (ang kuwento kung paano natagpuan ni Planck ang mga mekanika sa kabuuan sa pamamagitan ng pag-aaral ng entropy).

Planck ay tama sa pagturo na ang susi ay upang ipalagay ang enerhiya ay nasukat sa paanuman, ngunit hindi siya nagtagumpay na makabuo ng isang perpektong malinis na derivation sa lahat ng paraan mula sa mga unang prinsipyo, nang hindi kasama ang ilang mga pagpapalagay ng ad hoc tungkol sa mga mode ng panginginig ng boses sa loob. ovens. Ang Bose ay dumadaan sa proseso ng pagpapakita sa madla kung bakit nagsisimula mula sa pangunahing pinagsama-sama ng mga estado at antas ng enerhiya, nagtatapos ka sa maling formula. Maliban na sa pagtatapos, isang kakaibang himala ang naganap - nagulat siya sa kanyang sarili at lahat sa pamamagitan ng hindi sinasadyang pagtatapos sa tamang pormula. Tinignan niya muli ang nagawa niya at napagtanto na nagkamali siya - sa pagbibilang ng mga estado hanggang sa binilang niya ang mga ito sa "maling" paraan. Hindi sinasadya niyang tinatrato ang mga photon na tila magkapareho at mapagpapalit ang lahat sa halip na makilala bilang nauna nang ipinapalagay. Matapos ang pag-iisip tungkol dito, natanto niya na siya ay nasa isang bagay - marahil hindi talaga ito pagkakamali. Hindi niya alam kung sino pa ang magsasabi tungkol dito, kaya't nagpasya siyang sumulat ng liham kay Albert Einstein. Agad na natuwa si Einstein at tinulungan siyang mag-publish ng isang papel dito.

Satyendra Nath Bose

Kaya ang unang susi sa pagpaparami ng pormula ng Planck ay ang ilaw ay nasukat sa mga indibidwal na packet ng enerhiya na tinatawag na mga photon. Ngunit ang pangalawang malaking susi ay ang mga foton na ito ay walang anumang pagkakakilanlan. Bukod sa ilan na may magkakaibang enerhiya at momentum kaysa sa iba, magkapareho silang lahat. Sa pamamagitan ng kawalan ng pakiramdam, gumawa ito ng maraming Boltzmann at Gibbs ng mas maaga na gawain sa mga statistic na mekanika ay mas nakakaintindi. Nagkaroon ng isang kadahilanan ng N! ihagis sa mga equation upang maisagawa nang maayos ang pamamahagi ng Maxwell-Boltzmann, at upang matiyak na ang scrop entropy ay na-scale nang maayos sa dami. Nalaman ni Gibbs na may kaugnayan ito sa pagpapagamot ng mga partikulo na parang sila ay mapagpapalit, ngunit walang nagbigay pansin sa iyon o talagang tinuring ito. Bago ang Bose, sa pangkalahatan ay ipinapalagay ng lahat na ang mga partikulo ay maaaring makilala mula sa bawat isa sa ilang antas nang hindi bababa sa prinsipyo.

Ang kamangha-manghang pagkakamali ni Bose sa Bangladesh ay pinapayagan ang buong mundo ng pisika na ilagay ang kuko sa kabaong para sa ideya na ang mga particle ng kabuuan ay may sariling pagkakakilanlan. Kung mayroon sila, kung gayon magkakaroon ng mas maraming mga estado at magkakaroon pa rin tayo ng isang ultraviolet na sakuna sa aming mga kamay - ang mga thermodynamics ng nakikilala na mga photon ay hindi kailanman magagawang magparami ng radiation ng blackbody na na-obserbahan sa mga blackbody oven mula noong huling bahagi ng 1800. Hindi rin natin maipaliwanag kung bakit ang araw o iba pang mga mapagkukunan ng ilaw ay hindi nagliliwanag ng isang walang hanggan na dami ng enerhiya.

At iyon - ang aking mga kaibigan - ay ang kwento kung paano namin nalaman na magkatulad ang lahat ng mga electron!

Mangyaring i-click ang pindutan ng clap kung nahanap mo ang impormasyong ito, salamat :-)